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By Bernd Marx, Werner Vogt

ISBN-10: 382742447X

ISBN-13: 9783827424471

Sehr viele Prozesse in Physik, Chemie, Biologie, Medizin und in den Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften werden durch Differenzialgleichungen beschrieben. Dieses Buch stellt leistungsfähige analytische und numerische Methoden bereit, um die in der Praxis auftretenden nichtlinearen Differenzialgleichungen und dynamischen Systeme zu analysieren. Die wichtigsten Methoden, Sätze und Beweistechniken für Differenzialgleichungen werden vorgestellt. Zum Einsatz kommen sowohl elementare analytische Techniken als auch qualitative, geometrische und numerische Verfahren. Der Klärung grundlegender Phänomene wie Stabilität und Lösungsverzweigungen dienen Grundlagen aus der Funktionalanalysis und der Bifurkationstheorie. Mit der breiten Verfügbarkeit von Computern mit enormer Rechnerleistung wird zugleich der Einsatz effizienter numerischer Methoden sinnvoll, da eine examine größerer Systeme nur mit Hilfe von Computern möglich ist. So werden aktuelle Näherungsverfahren einschließlich ihrer leicht programmierbaren Algorithmen vorgestellt und beispielhaft durch Anwendungen illustriert. Der Leser erhält damit eine kurze, zeitgemäße, anschauliche und vergleichsweise verständliche Einführung in die Theorie und die Numerik dynamischer Systeme einschließlich der Algorithmen. Das Buch versteht sich als Brücke zwischen einem elementaren Kurs über Differenzialgleichungen und der inzwischen sehr umfangreichen modernen Forschungsliteratur. Es ist für Master-Studierende und Forscher in Mathematik, Ingenieur- und Naturwissenschaften geschrieben und wird auch dem Praktiker von Nutzen sein.

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2 Lineare Operatoren 31 Aus den Eigenschaften (i)-(iii) folgt speziell (T − λI)∗ = T ∗ − λI und für Banach-Räume X, Y aus (iv) die Beziehung ρ(T ) = ρ(T ∗ ) σ(T ∗ ) = σ(T ) . 41 Es sei k : [c, d] × [a, b] → R eine stetige Funktion zweier Variabler (s, t) ∈ [c, d] × [a, b]. Der lineare Operator b T : L2 [a, b] → L2 [c, d] , (T x)(s) := (s ∈ [c, d] , x ∈ L2 [a, b]) k(s, t)x(t) dt a bildet den Hilbert-Raum X := L2 [a, b] stetig in den Hilbert-Raum Y := L2 [c, d] ab. 4) k(s, t)x(t) dt b [k(s, t)]2 dt · ≤ c d [x(t)]2 dt a b c 2 L2 [a,b] a d 2 C · x = ds a [k(s, t)]2 dt ds · x = ds a b 2 L2 [a,b] , b C 2 := [k(s, t)]2 dt ds .

Wenn T nicht injektiv ist. Mit Ausnahme der Null sind also die Eigenwerte gerade die Kehrwerte der charakteristischen Werte von T (und umgekehrt). 27 Es seien X := Rn und T ∈ L(Rn , Rn ). Dann ist T durch eine Matrix A := (aij )n i,j=1 darstellbar. Ist T invertierbar, so ist μ ∈ R genau dann charakteristischer Wert von T , falls ker(I − μT ) = ker(λI − T ) = {0} ist. Die Zahlen λ = 1/μ sind genau die Eigenwerte von T . Insbesondere gibt es höchstens n charakteristische Werte für T . Ist T nicht invertierbar, so hat T noch den Eigenwert λ = 0 (der nicht Kehrwert eines charakteristischen Wertes ist).

29 Die Resolventenmenge ρ(T ) ist eine (in K) offene Menge, das Spektrum σ(T ) ist eine abgeschlossene und beschränkte Menge. Das Spektrum σ(T ) kann im Fall eines reellen Banach-Raumes (z. B. X := Rn ) auch leer sein. Für komplexe Banach-Räume X kann man zeigen, dass für T ∈ L(X, X) das 26 1 Funktionalanalytische Grundlagen Spektrum σ(T ) = ∅ ist. 1). 27 charakterisieren. Es zerfällt in mehrere qualitativ verschiedene Teile. 30 (Punkt-, Residual- und kontinuierliches Spektrum) Es seien X ein Banach-Raum und T ∈ L(X, X) gegeben.

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