By Alain Chenciner (auth.)
ISBN-10: 3540337075
ISBN-13: 9783540337072
ISBN-10: 3540337083
ISBN-13: 9783540337089
Issu d’un cours de maîtrise de l’Université Paris VII, ce texte est réédité tel qu’il était paru en 1978. A propos du théorème de Bézout sont introduits divers outils nécessaires au développement de los angeles thought de multiplicité d’intersection de deux courbes algébriques dans le plan projectif complexe. Partant des notions élémentaires sur les sous-ensembles algébriques affines et projectifs, on définit les multiplicités d’intersection et interprète leur somme entermes du résultant de deux polynômes. L’étude locale est prétexte � l’introduction des anneaux de série formelles ou convergentes ; elle culmine dans le théorème de Puiseux dont l. a. convergence est ramenée par des éclatements � celle du théorème des fonctions implicites. Diverses figures éclairent le texte: on y "voit" en particulier que l’équation homogène x3+y3+z3 = 0définit un tore dans le plan projectif complexe.
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Courbe d’equation 4p3 + 27q2 dans 2 3 racines réelles distinctes Nous allons appliquer les idées qui précèdent au cas où A est un anneau de polynômes. 5 – Soit A un anneau, soient F et G deux polynômes homogènes dans A[X1 , . . , Xs , Y ] de degrés respectifs m et n ; si les degrés en Y de F et G considérés comme des éléments de A[X1 , . . , Xs ][Y ] sont respectivement m et n, leur résultant est ou bien nul, ou bien un polynôme homogène de degré mn dans A[X1 , . . , Xs ]. Démonstration. (d’après Walker) F = Am + Am−1 Y + · · · + A0 Y m , G = Bn + Bn−1 Y + · · · + B0 Y n , Ai , Bi polynômes homogènes de degré i dans A[X1 , .
Mais 1 − m ∈ U car sinon l’idéal engendré par 1 − m serait un idéal propre et serait donc contenu dans l’unique idéal maximal M ce qui impliquerait 1 ∈ M . On en déduit que a ∈ U , et donc que A − M = U . 9 – O x (E) est un anneau local noethérien. Démonstration. 1. L’idéal maximal est M x (E) = {f ∈ O x (E)|f (x) = 0}. La projection canonique : O x (E) → O x (E)/M x (E) ∼ = K de O x (E) sur son corps résiduel s’identifie à l’évaluation (f ) = f (x) ∈ K. 2. 5). 12) – Soit E une variété affine définie sur le corps algébriquement clos K ; montrer qu’il existe une correspondance bijective entre les idéaux premiers de O x (E) et les sous-variétés affines de E qui passent par x.
M ⎪ . . . . . . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 0 . . 0 β 0 β1 . βn−1 βn 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ β1 . βn−1 βn 0 . . 2 – Si A est un anneau intègre, la nullité de R(f,g) équivaut à l’existence de deux polynômes non nuls, φ, ψ ∈ A[Y ], avec degré φ < m, degré ψ < n, tels que f ψ = gφ. 60 5 Le résultant Démonstration. On considère l’identité (α0 + α1 Y + · · · + αm Y m )(v0 + v1 Y + · · · + vn−1 Y n−1 ) =(β0 + β1 Y + · · · + βn Y n )(u0 + u1 Y + · · · + um−1 Y m−1 ) comme un système de m + n équations linéaires en les m + n inconnues u0 , u1 , .