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By Dominique Foata, mathématicien).; Aimé Fuchs

ISBN-10: 2100075470

ISBN-13: 9782100075478

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Et p n p n sous la = 0 si n n’appartient pas a` l’intervalle [ 0, p ]. 1. — Soit 0 ≤ n ≤ p ; le nombre de parties de cardinal n d’un ensemble de cardinal p est ´egal a ` np . D´emonstration. — Soit B de cardinal p. Pour obtenir une suite (n, p)injective (c1 , c2 , . . , cn ), il suffit de se donner la partie {c1 , c2 , . . , cn } de B, puis une permutation de ces n ´el´ements. )/n! = np . Exemple. — Combien y a-t-il de tirages de cinq cartes d’un jeu de cinquante-deux ? Si B est l’ensemble de toutes les cartes, un tirage de cinq cartes n’est autre qu’une partie de B, de cardinal 5.

An ) d’´el´ements de A deux a` deux disjoints, l’identit´e P(A1 ∪ · · · ∪ An ) = P(A1 ) + · · · + P(An ). ) Montrer que si (An ) (n ≥ 1) est une suite d’´el´ements deux `a deux disjoints, et si A = n≥1 An , alors P(A) ≥ n≥1 P(An ). ) ´ 12. 1) en utilisant les indications donn´ees dans le texte. 13. — Apr`es avoir obtenu le d´eveloppement en s´erie de Taylor, au voisinage de 0, des fonctions sin x, cos x, ln(1 + x), arctg x, arcsin x, exprimer ces d´eveloppements en s´erie `a l’aide des fonctions hyperg´eom´etriques.

L’identit´e binomiale donne la sommation de la s´erie 1 F0 . L’identit´e de Chu-Vandermonde permet de ´ BINOMIALES 5. 2) −n, a (c − a)n , ;1 = c (c)n c∈ / −N. 2). 2), on part de (1 − x)−(a+b) = (1 − x)−a (1 − x)−b et on d´eveloppe en utilisant l’identit´e binomiale. En prenant le coefficient de xn dans chacun des deux membres, on en d´eduit (a + b)n = n! d’o` u l’on tire (a + b)n = (b)n 0≤k≤n = 2 F1 ou encore 0≤k≤n (a)k (b)n−k k! (n − k)! (a)k (n − k + 1)k = (b + n − k)k k! (n ≥ 0), 0≤k≤n (a)k (−n)k (1 − b − n)k k!

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