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By Winfried Kaballo

ISBN-10: 3642377939

ISBN-13: 9783642377938

ISBN-10: 3642377947

ISBN-13: 9783642377945

In diesem Buch finden Sie eine Einführung in die Funktionalanalysis und Operatortheorie auf dem Niveau eines Master-Studiengangs.

Ausgehend von Fragen zu partiellen Differenzialgleichungen und Integralgleichungen untersuchen Sie lineare Gleichungen im Hinblick auf Existenz und Struktur von Lösungen sowie deren Abhängigkeit von Parametern. Dazu lernen Sie verschiedene Konzepte und Methoden kennen: Distributionen, Fourier-Transformation, Sobolev-Räume, Dualitätstheorie im Rahmen lokalkonvexer Räume, topologische Tensorprodukte, exakte Sequenzen, Banachalgebren, Fredholmoperatoren, Funktionalkalküle sowie selbstadjungierte Operatoren und ihre Rolle in der Quantenmechanik.

Das Buch ist ausführlich und leicht verständlich geschrieben, die Konzepte und Resultate werden durch Abbildungen und viele Beispiele illustriert. Anhand zahlreicher Übungsaufgaben (mit Lösungen auf der web site zum Buch) können Sie Ihr Verständnis des Stoffes testen, anhand anderer diesen selbstständig weiterentwickeln.

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Example text

8 injektiv auf dem Quotientenraum Lloc 1 (Ω) := ¨ modulo Nullfunktionen. (Aquivalenzklassen von) Funktionen f ∈ Lloc onnen also 1 (Ω) k¨ mit den Distributionen uf ∈ D (Ω) identifiziert werden, und wir schreiben oft einfach f statt uf . b) Dirac-Funktionale oder δ -Funktionale δa : ϕ → ϕ(a) , a ∈ Rn , (23) sind Distributionen der Ordnung 0 auf Rn . Im Fall a = 0 schreiben wir einfach δ := δ0 ∈ D (Rn ) . In der Elektrostatik beschreibt q δa eine Punktladung q > 0 im Punkte a ∈ Rn . ur ε → 0 der Punktladungen c) Ein Dipol in a ∈ R mit Moment 1 wird als Grenzfall f¨ 1 1 in a + ε und − in a aufgefasst.

Somit ist eine Linearform u : D (Ω) → C genau dann eine Distribution, wenn sie die folgende Bedingung erf¨ ullt: ϕk → 0 in D (Ω) ⇒ u(ϕk ) → 0 in C . Ordnung einer Distribution. ϕ K,j := Es ist D (K) ein Fr´echetraum unter den Normen sup | ∂ α ϕ(x) | , | α |≤j x∈K j ∈ N0 . 2 ist eine Linearform u : D (Ω) → C genau dann eine Distribution, wenn es zu jeder kompakten Menge K ⊆ Ω ein j = j(K) ∈ N0 und ein C ≥ 0 gibt mit | u(ϕ) | ≤ C ϕ K,j f¨ ur alle ϕ ∈ D (K) . (22) ahlt werden, so heißt Kann f¨ ur alle kompakten Mengen K ⊆ Ω das gleiche j ∈ N0 gew¨ das minimale derartige j ∈ N0 die Ordnung von u .

Es gelte L(X)·J ⊆ J . Weiter sei J ein (F ) -Raum, der stetig in L(X) eingebettet ist. Zeigen Sie, dass die Multiplikation von L(X) × J nach J stetig ist. Beispiele solcher Operatorideale sind etwa Schatten-Klassen Sp (H) → L(H) auf Hilbertr¨ aumen, vgl. 1 in diesem Buch. 2 Distributionen 2 27 Distributionen Fragen: 1. Es seien Ω ⊆ Rn offen und f1 , . . , fr Funktionen in C ∞ (Ω) ohne gemeinr same Nullstelle. Konstruieren Sie g1 , . . , gr in C ∞ (Ω) mit fk (x) gk (x) = 1 f¨ ur k=1 alle x ∈ Ω .

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