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By A Guichardet

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Mathematik ist eine vielseitige und lebendige Wissenschaft. Von den großen Themen wie Zahlen, Unendlichkeiten, Dimensionen und Wahrscheinlichkeiten spannen die Autoren einen Bogen zu den aktuellen mathematischen Anwendungen in der Logistik, der Finanzwelt, der Kryptographie, der Medizin und anderen Gebieten.

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Le couple (M(G), ô) est solution d'un problème universel : tout morphisme U de G dans le groupe des éléments inversibles d'une algèbre unitaire A se prolonge d'une seule façon en un morphisme d'algèbres U: M{G) ~ A ; il est donné par U(f) = L f (s). U(s) . s Le foncteur M. ôu(s), f(s) pour tout t EH ; on peut donc ALGÈBRES DE GROUPES, FONCTIONS DE TYPE POSITIF 19 dire que u(f) s'obtient, à partir def, par« sommation par tranches». i'

Dµ(x) (calcul justifié par le théorème de Lebesgue-Fubini), c'est-à-dire À. = y(µ). Ff sont partout denses dans ~ 0 (G). D. On a en même temps prouvé le 44 [CHAP. 5. ds, on obtient une bijection de p+(G) sur L 1 (G)'+. 6. Toute fonction continue de type positif est uniformément continue. Soit en effet h la fctp associée ൠ~ 0, soit e > 0 et soit Kun compact de G tel que µ(G - K) :::::;; e; le morphisme canonique de G dans G étant continu, il existe un voisinage V de e tel que So E V => 1 - Vx e K; 1 1 :::::;; e on a alors, pour set t E G tels que sr 1 EV: 1 h(s) - h(t) 1 = : :; f 1 1 J(< x.

4) Le dual du produit d'une famille finie Gl> ... , Gn de GLCC est isomorphe au produit des duaux, à toute famille (X;) e llG; correspondant le caractère (s;)--+ nx;(s;). x), où 5) Dual d'un groupe cyclique fini: si les éléments de G sont e, u, u2 , ••• , if- 1 , les caractères de G correspondent bijectivement aux racines n-ièmes de l'unité, à une telle racine a correspondant le caractère u11 --+ a11 ; on voit donc que Gest isomorphe à G. 6) Dual d'un groupe fini commutatif : comme un tel groupe est produit direct de groupes cycliques finis, on voit que tout groupe fini commutatif est isomorphe à son dual.

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